数学建模

域最少警车的规律

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题目要求警车的配置和巡逻方案满足d1要求时，整个区域所需要配置的警车数目最少。由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路长度是个定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制和概率限制：叁分钟内赶到普通区域案发现场的比例不低于90％，而赶到重点部位的时间必须控制在两分钟之内。由此可知每辆警车的管辖范围不会很大，于是考虑将整个区域分成假设干个分区，每辆警车管辖一个分区域。

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由上面的分析，求解整个区域的警车数目最少这个问题可转化为求解每一辆警车所能管辖的街道范围尽量的大。于是我们寻找出使每辆警车管辖的范围尽量大的规律。为了简化问题，我们不考虑赶到现场的90%的几率的限制，仅对警车能在叁分钟内赶到事发现场的情况作定性分析，其分析示意图如图1所示。警车的初始停靠位置是随机的分布在道路上的任一节点上，我们假设一辆警车停靠在a点上。

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图1一辆警车管辖范围分析示意图

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由于警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h，由于距离信息比拟容易得到，于是我们将时间限制转化为距离限制，这样便于分析和求解。当警车接警后，在叁分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是r，其中。

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如图1所示，我们设警车初始停靠位置在a点，a点是道路1，2，3，4的道路交叉口。我们仅以警车在道路1巡逻为例来进行分析，警车以的速度在道路1上a到点之间巡逻，与初始停靠点a的距离为。由于案件有可能在道路上任一点发生，当警车巡逻到a点时，假设案发现场在道路2，3，4上发生时，警车以40km/h的速度向事发现场行驶，警车能在叁分钟内从点赶到现场的最大距离为。如果警车在道路1上继续向前行驶，那么该警车能在叁分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车从初始点向a点行驶但没有到达点时，此时该警车的最大管辖范围比警车到达点时的最大管辖范围大。为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好，当时，即警车在初始停靠点静止不动时，警车的管辖范围到达最大值。

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