第1章 上一章注释001

是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

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基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=ρn(f，g):Nn+1—N

对于h:

基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

递归条件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add(x，y)=x+y=ρ1(f，g)

基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11

递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

add=ρ1(proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=ρ1(zero，add·[proj13，proj33])

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归ρ这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N (这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f(5，4，3，2，1，0)=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f(5，4，3，2，1，1)=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N (proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

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