第246章 函数之妙lnx/x（续）

济领域，可借此分析市场之走势。汝等当结合实际，深思其用。”

3. 高阶导数的探索

继续求函数的三阶导数、四阶导数……虽计算过程愈发复杂，但每一次求导都能为我们揭示函数更多的性质。高阶导数在泰勒级数展开、近似计算等方面有着重要的应用。

学子丙感慨道：“先生，此高阶导数之求，实乃不易。然其价值何在？”文曰：“高阶导数如层层迷雾中之明灯，引领吾辈深入函数之奥秘。在近似计算中，可提高精度；在理论研究中，可拓展视野。汝等当不畏艰难，勇于探索。”

二、函数的积分

1. 不定积分

求函数 f(x)=lnx/x 的不定积分。设 ∫(lnx/x)dx，可令 u = lnx，则 du = 1/x dx。

此时 ∫(lnx/x)dx = ∫udu = u2/2 + C = (lnx)2/2 + C。

不定积分的意义在于，它为我们提供了一种反求导的工具。通过不定积分，我们可以找到函数的原函数族，从而更好地理解函数的性质和变化规律。

学子丁问道：“先生，此不定积分之原函数族，如何应用于实际问题？”文曰：“在物理问题中，可通过不定积分求位移、速度等；在经济领域，可用于计算总成本、总收入等。汝等当灵活运用，方显其价值。”

2. 定积分

考虑定积分 ∫a,bdx，其中 a、b 为给定区间的端点。定积分在计算曲线下面积、求解物理问题等方面有着广泛的应用。

例如，当 a = 1，b = e 时，∫1,edx。可通过换元法或分部积分法进行求解。

学子戊曰：“先生，此定积分之求解，可有妙法？”文曰：“定积分之求解，需细心观察，巧妙运用方法。换元法、分部积分法皆为常用之策。汝等当多做练习，熟能生巧。”

三、函数与数列的联系

1. 数列极限与函数极限的关系

设 an = lnn/n，考察数列{an}的极限。由函数 f(x)=lnx/x 的性质可知，当 x 趋近于正无穷时，lnx/x 趋近于零。而数列{an}可以看作是函数 f(x)在正整数点上的取值。

根据函数极限与数列极限的关系，若函数 f(x)在某一点的极限存在，那么该函数在该点附近的数列极限也存在且相等。

这

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