《246函数之妙——lnx/x(续)》
夫函数 lnx/x,其魅力无穷,如璀璨之星,照亮数学之苍穹。前文已详述其特性、应用及意义,今当更进一步,深入探索其更为深邃之奥秘。
且说有一智者,名曰文,常游于学林之间,与诸学子共探数学之妙。文善启学子之智,引其深入思考,学子们亦对文敬重有加,常围而请教。
一、函数的高阶导数
1. 一阶导数的再审视
回顾 f(x)=lnx/x 的一阶导数 f'(x)=(1-lnx)/x2,其在确定函数单调性方面发挥了关键作用。当 0<x<e 时,f'(x)>0,函数单调递增;当 x>e 时,f'(x)<0,函数单调递减。此乃函数变化之根本规律,然仅止于此,尚不足以尽显其精妙。
学子甲曰:“先生,此一阶导数之变化,吾辈已明了,然其深意何在?”文笑而答曰:“此一阶导数,乃函数变化之关键。如行军之帅,引领函数之增减。当 f'(x)>0 时,函数如勇进之师,气势如虹;当 f'(x)<0 时,函数似退避之卒,渐趋平缓。汝等当细思其变,方能悟函数之真谛。”
2. 二阶导数的推导与分析
求 f(x)的二阶导数 f''(x)。对 f'(x)=(1-lnx)/x2求导,根据求导法则可得:
f''(x)=[(1-lnx)'x2-(1-lnx)(x2)']/x?
=(1/x*x2-(1-lnx)*2x)/x?
=(x-(1-lnx)*2x)/x?
=(x-2x+2xlnx)/x?
=(2xlnx - x)/x?
=(2lnx - 1)/x3。
分析二阶导数的意义:二阶导数反映了函数的凹凸性。当 f''(x)>0 时,函数图像为凹;当 f''(x)<0 时,函数图像为凸。
令 f''(x)=(2lnx - 1)/x3>0,即 2lnx - 1>0,2lnx>1,lnx>1/2,解得 x>√e。
故当 x>√e 时,函数 f(x)=lnx/x 为凹函数;当 0<x<√e 时,函数为凸函数。
学子乙疑惑道:“先生,此凹凸之性,于实际有何用焉?”文曰:“此凹凸之性,用处甚广。如在工程设计中,可依此判断结构之稳定性;在经
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