第201章 二项式定理的奇妙世界

“首先，n = 4 ，那么第一项的系数 C(4, 0) 等于 1，所以第一项是 a^4 。第二项 C(4, 1) 等于 4，所以是 4a^3b 。大家继续算下去。”戴浩文在一旁耐心地指导。

经过一番努力，学子们算出了 (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 。

戴浩文接着说：“那如果我们给定一个具体的数值，比如 (1 + 2)^3 ，大家能快速算出结果吗？”

学子们纷纷动笔，很快就得出了答案 27 。

“很好，那我们再来看二项式定理的一些应用。”戴浩文又在黑板上写下了一道题目：“已知 (x + 1)^5 ，求展开式中 x^3 的系数。”

学子们开始思考，有一位学子站起来说：“先生，我们先根据二项式定理展开，找到 x^3 那一项的系数。”

戴浩文鼓励道：“非常好，那你来试试。”

这位学子走上讲台，边写边说：“C(5, 3) = 10 ，所以 x^3 的系数是 10 。”

戴浩文点头称赞：“完全正确！那我们再来看这道题。”

他写下：“求 (2x - 1)^6 展开式中的常数项。”

这道题稍微有点难度，学子们纷纷讨论起来。

戴浩文提示道：“大家想想，常数项是哪一项？”

经过一番思考和讨论，有学子回答：“当 x 的次数为 0 时，就是常数项。”

戴浩文笑着说：“对，那我们来找找 x 的次数为 0 的那一项。”

最终，学子们算出了常数项为 1 。

戴浩文接着说：“二项式定理在数学中有很多用处，比如可以用来近似计算、证明一些不等式。我们来看这个例子。”

他在黑板上写下：“证明 (1 + x)^n ≥ 1 + nx （当 x ＞ -1 时，n 为正整数）。”

学子们又陷入了思考，戴浩文引导他们用二项式定理展开左边的式子，然后进行比较和证明。

经过一番努力，学子们成功地完成了证明。

“大家做得很棒！那我们再来看看二项式定理在概率问题中的应用。”戴浩文说道。

他举例道：“假设进行 n 次独立重复试验，每次试验成功的概率为 p ，失败的概率为 1 - p

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