第133章 深探等差数列

- 1)d ，所以 Sn = n(a1 + a1 + (n - 1)d) / 2 ，化简后得到 Sn = n[2a1 + (n - 1)d] / 2 ，进一步变形可得 2Sn = n(2a1 + (n - 1)d) ， 2Sn = 2na1 + n(n - 1)d ， 2a1 = (2Sn - n(n - 1)d) / n ，最终得出 a1 = (2Sn - n(n - 1)d) / 2n 。”

戴浩文带头鼓掌：“推导得非常精彩！那我们再来看一个实际应用的例子。假设一个等差数列的前 10 项和为 150 ，公差为 2 ，求首项。谁能来解一下？”

学子们纷纷埋头计算，不一会儿，一位学子举手说道：“先生，我算出来了。根据刚才推导的公式，a1 = (2×150 - 10×9×2) / 20 = 6 。”

戴浩文点了点头：“正确。那我们再思考一下，如果已知等差数列的前三项和为 12 ，且前三项的平方和为 40 ，如何求这个数列的通项公式呢？”

这个问题让学子们感到有些棘手，但他们并没有退缩，而是相互讨论，尝试着寻找解题的方法。

过了许久，一位学子说道：“先生，我设这三项分别为 a - d ，a ，a + d ，然后根据已知条件列出方程组，可以求出 a 和 d ，进而得到通项公式。”

戴浩文说道：“那你来具体解一下这个方程组。”

学子在黑板上写道：“(a - d) + a + (a + d) = 12 ， (a - d)2 + a2 + (a + d)2 = 40 。 解第一个方程得 3a = 12 ，a = 4 。将 a = 4 代入第二个方程得 (4 - d)2 + 16 + (4 + d)2 = 40 ，化简得到 16 - 8d + d2 + 16 + 16 + 8d + d2 = 40 ， 2d2 = 40 - 48 ， 2d2 = -8 ，d2 = -4 （舍去）或者 d = 2 ，d = -2 。所以当 d = 2 时，通项公式为 an = 2 + 2(n - 1) = 2n ；当 d = -2 时，通项公式为 an = 8 - 2(n - 1) = 10 - 2n 。”

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戴浩文说

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