第248章 函数之妙x/ex

移 a 个单位；当 a＜0 时，函数图像整体向下平移|a|个单位。其导数与 f(x)相同，故单调性与极大值皆不变，仅函数图像在 y 轴上之位置改变。”

学子丁问道：“先生，此平移变换于实际有何影响？”

先生曰：“平移变换可用于调整模型之基准线。如在经济领域，若考虑加入固定成本项，便相当于对函数进行垂直平移。可更好地反映实际经济状况，为决策提供更准确之依据。”

“再看伸缩变换。设 k(x)=kx/e^(kx)（k 为非零常数）。当 k＞1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0＜k＜1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉伸。其导数为 k*(1 - kx)/e^(kx)。分析其单调性与极值，可发现随着 k 之变化，函数性质亦发生改变。”

学子戊问道：“先生，此伸缩变换有何深意？”

先生曰：“伸缩变换可让吾等更直观地看到函数形状之变化，从而更好地理解函数性质随参数变化之规律。于实际问题中，可根据不同情况调整参数 k，以适应具体需求。如在物理实验中，可通过调整参数来模拟不同条件下之现象。”

“且观函数与三角函数之联系。设 p(x)=x/e^x * sinx。求其导数，p'(x)=[(1 - x)/e^x * sinx + x/e^x * cosx]。此函数性质复杂，然可通过观察不同区间之取值情况以了解其大致性质。”

学子己问道：“先生，此函数与正弦函数结合有何应用？”

先生曰：“于物理学中，某些波动现象或涉及此类函数组合。如在研究声波传播时，可能出现与指数函数和正弦函数相关之模型。通过分析此函数，可更好地理解和预测物理现象。”

“又设 q(x)=x/e^x * cosx。求其导数，q'(x)=[(1 - x)/e^x * cosx - x/e^x * sinx]。同样，分析其性质较为复杂，可通过特殊点和区间取值进行初步判断。”

学子庚问道：“先生，此函数与余弦函数结合与前者有何不同？”

先生曰：“与正弦函数结合之函数 p(x)和与余弦函数结合之函数 q(x)在性质上有差异。导数表达式不同，致其单调性和极值分析方法亦不同。且于实际应用中，可根据具体问题特点选择不同函数组合。”

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