第247章 函数之妙lnx/x（续2）

/x?，等等。

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- 在 x = a 处展开，泰勒级数公式为 f(x)=f(a)+f'(a)(x - a)/1!+f''(a)(x - a)2/2!+f'''(a)(x - a)3/3!+...。

- 选取合适的 a 值，如 a = 1，计算各阶导数在 x = 1 处的值，可得 f(1)=0，f'(1)=1，f''(1)=-1，f'''(1)=3，等等。

- 从而函数在 x = 1 处的泰勒级数展开为 lnx/x = (x - 1) - (x - 1)2/2+(x - 1)3/3 -...。

- 学子甲又问：“先生，此泰勒级数展开之意义何在？”文曰：“泰勒级数展开可以将一个复杂的函数用多项式来近似表示，在计算和分析函数值时非常有用。同时，通过泰勒级数展开，我们可以更好地理解函数在某一点附近的性质和变化规律。在数值计算中，也可以利用泰勒级数展开来提高计算精度。”

2. 傅里叶级数展开

- 考虑函数 f(x)=lnx/x 在区间[0,2π]上的傅里叶级数展开。

- 傅里叶级数公式为 f(x)=a?/2 + Σn=1 to ∞，其中 a?=1/π∫[0,2π]f(x)dx，a?=1/π∫[0,2π]f(x)cos(nx)dx，b?=1/π∫[0,2π]f(x)sin(nx)dx。

- 计算这些积分较为复杂，但通过逐步计算可以得到函数的傅里叶级数展开式。

- 学子乙曰：“先生，傅里叶级数展开与泰勒级数展开有何不同之处？”文曰：“泰勒级数展开是在某一点附近对函数进行近似，而傅里叶级数展开是在一个区间上对函数进行近似。傅里叶级数展开主要用于周期函数的分析，将函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。在不同的应用场景中，可以根据需要选择合适的级数展开方式。”

七、函数的数值计算方法

1. 牛顿迭代法求解函数零点

- 对于方程 f(x)=lnx/x - c = 0（c 为常数），可以使用牛顿迭代法求解其零点。

- 牛顿迭代公式为 x??? = x? - f(x?)/f'(x?)。

- 首先选取一个初始值 x?，然后根据迭代公式不断更新

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