第247章 函数之妙lnx/x（续2）

k＞1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0＜k＜1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉伸。

- 求 h(x)的导数 h'(x)=[1-ln(kx)]/x2，分析其单调性和极值。

- 令 h'(x)=0，可得极大值点为 x = e/k。极大值为 h(e/k)=ln(ke/k)/(e/k)=lnk + 1/e。

- 学子丁问道：“先生，此伸缩变换与之前讨论的常数 k 对函数的影响有何不同之处？”文曰：“之前主要关注 k 对函数单调性和极值的影响，而这里着重从图像变换的角度来看。通过伸缩变换，我们可以更直观地看到函数形状的变化，从而更好地理解函数性质随参数变化的规律。”

三、函数与三角函数的联系

1. 函数与正弦函数的结合

- 考虑函数 p(x)=lnx/x * sinx。

- 分析函数 p(x)的性质，首先求其导数 p'(x)=[(1-lnx)/x2sinx + lnx/xcosx]。

- 由于涉及到对数函数、正弦函数和余弦函数的组合，分析起来较为复杂。

- 但可以通过观察函数在不同区间的取值情况来大致了解其性质。

- 当 x 趋近于零时，lnx/x 趋近于无穷小，sinx 也趋近于零，两者乘积为无穷小乘以有界量，结果仍为无穷小，即 p(x)趋近于零。

- 当 x 趋近于正无穷时，由前面的分析可知 lnx/x 趋近于零，而 sinx 是有界函数，所以 p(x)也趋近于零。

- 学子戊问道：“先生，此函数与正弦函数的结合，在实际中有何应用？”文曰：“在物理学中，某些波动现象可能涉及到类似的函数组合。例如，在研究电磁波的传播时，可能会出现与对数函数和正弦函数相关的模型，通过分析这样的函数，可以更好地理解和预测物理现象。”

2. 函数与余弦函数的结合

- 设函数 q(x)=lnx/x * cosx。

- 求 q(x)的导数 q'(x)=[(1-lnx)/x2cosx - lnx/xsinx]。

- 同样，分析其性质较为复杂，但可以通过特殊点和区间的取值来进行初步判断。

- 当 x = e 时，q(e)=lne/e * cos(e)=1

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