文曲在古
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第246章 函数之妙lnx/x(续)

金融领域中的应用

在金融领域,函数 lnx/x 可以用于投资组合优化问题。假设投资者有多种资产可供选择,每种资产的收益率为 r_i,风险为 σ_i。投资者的目标是在一定的风险约束下,最大化投资组合的收益率。

可以构建目标函数 f(x)=ln(x1r1 + x2r2 +... + xnrn)/x1σ1 + x2σ2 +... + xnσn,其中 x1,x2,...,xn 为投资在每种资产上的比例。

通过分析函数 f(x)的性质,可以找到最优的投资组合比例,实现风险与收益的平衡。

学子癸曰:“先生,此金融领域之应用,复杂难解。如何入手分析?”文曰:“需先理解金融概念,再结合函数之性质。逐步分析,不可急躁。汝等当有耐心,深入研究。”

五、函数的拓展与变形

1. 考虑函数 ln(kx)/x(k 为常数)

当函数变为 f(x)=ln(kx)/x 时,其性质会发生一定的变化。

首先,定义域仍为 x>0。

求导数 f'(x)=[1-ln(kx)]/x2。

分析单调性:令 f'(x)>0,即 1-ln(kx)>0,ln(kx)<1,kx<e,解得 x<e/k。

当 0<x<e/k 时,函数单调递增;当 x>e/k 时,函数单调递减。

极大值为 f(e/k)=ln(ke/k)/(e/k)=lnk + 1/e。

通过对不同 k 值的分析,可以了解常数 k 对函数性质的影响。当 k>1 时,函数图像在 x 轴上的压缩程度变小;当 0<k<1 时,函数图像在 x 轴上的压缩程度变大。

学子甲又问:“先生,此 k 值之变化,对函数影响甚巨。如何更好地理解?”文曰:“可多做实例分析,绘制不同 k 值下的函数图像。对比观察,便可知其变化规律。汝等当动手实践,加深理解。”

2. 函数的复合与嵌套

考虑复合函数 g(x)=ln(f(x))/f(x),其中 f(x)为另一已知函数。通过分析复合函数的性质,可以得到更复杂的数学模型。

例如,若 f(x)=x2,则 g(x)=ln(x2)/x2=2ln|x|/x2。

求 g(x)的导数,分析其单调性、极值等

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