第246章 函数之妙lnx/x（续）

金融领域中的应用

在金融领域，函数 lnx/x 可以用于投资组合优化问题。假设投资者有多种资产可供选择，每种资产的收益率为 r_i，风险为 σ_i。投资者的目标是在一定的风险约束下，最大化投资组合的收益率。

可以构建目标函数 f(x)=ln(x1r1 + x2r2 +... + xnrn)/x1σ1 + x2σ2 +... + xnσn，其中 x1,x2,...,xn 为投资在每种资产上的比例。

通过分析函数 f(x)的性质，可以找到最优的投资组合比例，实现风险与收益的平衡。

学子癸曰：“先生，此金融领域之应用，复杂难解。如何入手分析？”文曰：“需先理解金融概念，再结合函数之性质。逐步分析，不可急躁。汝等当有耐心，深入研究。”

五、函数的拓展与变形

1. 考虑函数 ln(kx)/x（k 为常数）

当函数变为 f(x)=ln(kx)/x 时，其性质会发生一定的变化。

首先，定义域仍为 x＞0。

求导数 f'(x)=[1-ln(kx)]/x2。

分析单调性：令 f'(x)＞0，即 1-ln(kx)＞0，ln(kx)＜1，kx＜e，解得 x＜e/k。

当 0＜x＜e/k 时，函数单调递增；当 x＞e/k 时，函数单调递减。

极大值为 f(e/k)=ln(ke/k)/(e/k)=lnk + 1/e。

通过对不同 k 值的分析，可以了解常数 k 对函数性质的影响。当 k＞1 时，函数图像在 x 轴上的压缩程度变小；当 0＜k＜1 时，函数图像在 x 轴上的压缩程度变大。

学子甲又问：“先生，此 k 值之变化，对函数影响甚巨。如何更好地理解？”文曰：“可多做实例分析，绘制不同 k 值下的函数图像。对比观察，便可知其变化规律。汝等当动手实践，加深理解。”

2. 函数的复合与嵌套

考虑复合函数 g(x)=ln(f(x))/f(x)，其中 f(x)为另一已知函数。通过分析复合函数的性质，可以得到更复杂的数学模型。

例如，若 f(x)=x2，则 g(x)=ln(x2)/x2=2ln|x|/x2。

求 g(x)的导数，分析其单调性、极值等

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