第236章 椭圆之秘：面积公式的古韵推导

每一个部分。

“我们知道，对于椭圆来说，焦点之间的距离是固定的，设为 2c。而点 P 到线段 F1F2 的距离可以通过椭圆的方程来计算。椭圆的标准方程为 x2/a2 + y2/b2 = 1。我们可以通过这个方程来求出点 P 的坐标，进而计算出点 P 到线段 F1F2 的距离。”

戴浩文先生开始推导点 P 到线段 F1F2 的距离公式。

“设点 P 的坐标为(x,y)，根据两点间距离公式，焦点 F1 和 F2 的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。那么线段 F1F2 的长度为 2c。而点 P 到线段 F1F2 的距离可以通过点 P 到直线 F1F2 的距离公式来计算。直线 F1F2 的方程为 x = ±c。点 P 到直线 x = c 的距离为|x - c|，到直线 x = -c 的距离为|x + c|。由于点 P 在椭圆上，满足椭圆方程，我们可以将点 P 的坐标代入椭圆方程，得到 y2 = b2(1 - x2/a2)。”

戴浩文先生一边讲解，一边在黑板上进行详细的推导。

“那么点 P 到线段 F1F2 的距离 h 就可以通过勾股定理来计算。h2 = y2+(x - c)2或者 h2 = y2+(x + c)2。将 y2 = b2(1 - x2/a2)代入，我们可以得到 h 的表达式。”

经过一番复杂的推导，戴浩文先生得到了点 P 到线段 F1F2 的距离公式。

“现在，我们已经得到了三角形 PF1F2 的底和高的表达式，那么三角形的面积就可以计算出来了。设三角形 PF1F2 的面积为 S1，则 S1 = 1/2×2c×h = c×h。将 h 的表达式代入，我们可以得到三角形 PF1F2 的面积公式。”

戴浩文先生在黑板上写下了三角形 PF1F2 的面积公式。

“接下来，我们要将整个椭圆的面积通过累加这些三角形的面积来得到。由于椭圆是连续的曲线，我们不能直接进行累加，但是我们可以通过积分的方法来近似地计算。”

戴浩文先生开始介绍积分的概念。

“积分是一种数学工具，可以用来计算曲线下的面积。我们可以将椭圆的周边分成无数个极小的线段，每个线段对应一个三角形。然后，我们对这些三角形的面积进行积分，就可以得到椭圆的面积。”

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