第226章 拉格朗日乘数法

= y = 1/2 。”

“所以，在这个约束条件下，函数 f(x, y) 的最小值就是 1/2 。大家明白了吗？”戴浩文先生目光扫过每一位学子。

同学们纷纷点头，但眼神中仍有一些疑惑。

戴浩文先生似乎看出了大家的心思，他说道：“不要着急，我们再来看一个更复杂的例子。”

他再次拿起粉笔，在黑板上写下：“求函数 f(x, y) = xy 在约束条件 x^2 + y^2 = 1 下的最大值和最小值。”

这一次，同学们的眉头皱得更紧了，显然这个问题的难度增加了不少。

戴浩文先生耐心地引导大家：“同样地，我们构建拉格朗日函数 L(x, y, λ) = xy + λ(x^2 + y^2 - 1) ，然后求偏导数。”

他在黑板上逐步写出求偏导的过程：

?L/?x = y + 2λx = 0 ④

?L/?y = x + 2λy = 0 ⑤

?L/?λ = x^2 + y^2 - 1 = 0 ⑥

“同学们，我们来仔细分析这三个式子。由④和⑤，我们可以尝试消除λ，看看能得到什么新的关系。”

经过一番思考和讨论，学子们在戴浩文先生的引导下，逐渐找到了思路。

“那我们得到了这些关系，再结合⑥式，就能够求解出 x 和 y 的值。”戴浩文先生一边说，一边在黑板上进行计算。

经过一番复杂的运算，最终得出了这个问题的解。

此时，有些同学已经开始感到有些吃力，但戴浩文先生鼓励道：“数学的学习就像攀登山峰，过程可能会有些艰难，但当我们到达山顶，看到那美丽的风景时，一切努力都是值得的。”

为了让大家更好地理解和掌握拉格朗日乘数法，戴浩文先生又列举了几个不同类型的例子。

“假设我们有一个生产问题。一个工厂生产两种产品 A 和 B，生产一单位 A 产品的成本是 2 元，生产一单位 B 产品的成本是 3 元。市场对这两种产品的需求有一定的限制，比如 A 产品和 B 产品的总数量不能超过 100 个。现在要确定生产多少 A 产品和 B 产品，才能使总成本最小。我们就可以用拉格朗日乘数法来解决这个问题。”

戴浩文先生详细地分析着问题，将实际问题转化为数学模型。

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