第223章 神奇的泰勒展开式

戴浩文思索片刻，说道：“此乃众多数学大家经过深思熟虑与反复推导所得。其基于函数在某一点的导数信息，逐步构建出这一近似表达式。”

为了让学子们更好地理解，戴浩文又以具体的数值例子进行演示。

“假设我们要计算 e 的近似值，已知 e 约等于 2. 。若我们取 e^x 的泰勒展开式的前几项，如 1 + x + x^2/2 ，令 x = 1 ，则可得 1 + 1 + 1/2 = 2.5 ，虽与真实值有差距，但已颇为接近。若再增加项数，精度将更高。”

学子们纷纷拿起笔，跟着戴浩文的例子进行计算，学堂中顿时响起一片沙沙声。

戴浩文在学堂中踱步，观察着学子们的计算过程，不时给予指点。

“张明，计算阶乘时要仔细，莫出错。”

“王强，注意小数点的位置。”

经过一番练习，学子们对泰勒展开式有了初步的认识。

戴浩文停下脚步，说道：“泰勒展开式虽看似复杂，但只要尔等用心领悟，多加练习，定能掌握其要领。”

他再次在黑板上写下一个复杂的函数，说道：“今吾等以 f(x) = cos(x) 为例，一同来推导其泰勒展开式。”

戴浩文一步一步地引导学子们进行推导，从函数的导数计算，到各项系数的确定，每一个步骤都讲解得清晰透彻。

“首先，计算 cos(x) 的一阶导数为 -sin(x) ，二阶导数为 -cos(x) ，三阶导数为 sin(x) ，四阶导数为 cos(x) ...... 由此可见，其导数具有周期性。”

学子们紧紧跟随戴浩文的思路，眼睛紧盯着黑板，生怕错过任何一个细节。

“然后，我们将函数在 x = 0 处进行展开。因为 cos(0) = 1 ， -sin(0) = 0 ， -cos(0) = -1 ， sin(0) = 0 ...... 所以 cos(x) 的泰勒展开式为 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +... ”

戴浩文讲完后，问道：“诸位可明白了？”

学子们有的点头，有的仍面露困惑。

戴浩文说道：“未明者莫急，吾再讲一遍。”

他不厌其烦地又重复了一遍推导过程，直到所有学子都露出恍然大悟的神情。

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