第167章 方程根的个数之探秘

根，分别为 1，2，3。”

“至于更高次方程，其解法更为复杂，常需借助函数之图像，以观其走势，判断根之个数。”戴浩文继续讲解。

他画出函数 y = x3 - 6x2 + 11x - 6 的图像，“观此图像与 x 轴之交点，便知方程根之个数。”

学子们盯着图像，似有所悟。

戴浩文又道：“亦有一类方程，难以直接求解，如超越方程。例如，e^x - 2x - 1 = 0。”

他解释道：“此类方程，吾等可通过函数单调性、极值等性质来推断根之个数。先求其导数，判断函数增减区间，再观其极值。”

戴浩文详细地推导着，学子们跟随着他的思路，努力理解着其中的奥妙。

时光悄然流逝，已至正午，阳光透过窗棂洒入教室，但学子们浑然未觉，沉浸于知识的海洋。

“今日所学，颇为深奥，诸位需在课后多加琢磨。”戴浩文说道。

下午课程伊始，戴浩文继续深入探讨方程根的个数问题。

他在黑板上写下一道含参数的方程：“x2 + mx + 1 = 0。”

“若此方程有实数根，求参数 m 之取值范围。”戴浩文抛出问题。

学子们纷纷动笔演算。戴浩文则在台下巡视，观察学子们的解题思路。

少顷，戴浩文走上讲台，开始讲解：“由判别式 Δ = m2 - 4，若方程有实根，则 Δ ≥ 0，即 m2 - 4 ≥ 0，解得 m ≥ 2 或 m ≤ -2。”

接着，他又给出几道类似的含参数方程，让学子们巩固所学。

“再看这道方程，”戴浩文又写下：“x3 - 3x + k = 0，已知其有且仅有一个实根，求 k 的取值范围。”

学子们再次陷入沉思。戴浩文提示道：“可先求导，分析函数单调性。”

经过一番思考和讨论，学子们逐渐找到了解题的关键。

戴浩文见众人有所领悟，心中甚喜，又道：“方程根之个数问题，亦与函数之零点定理相关。若函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续，且 f(a) 与 f(b) 异号，则在区间 (a, b) 内至少存在一个零点，即方程 f(x) = 0 在区间 (a, b) 内至少有一个实根。”

为让学子们更好地理解，戴浩文举例画图，详细阐述。

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