第8章 数学老师的浪漫

拿起笔在手里转了一圈，目光扫过教室里埋头苦干的同学们。

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有不少人对着试卷抓耳挠腮，大概是第一题就卡住了。

“咦？”课代表将卷子递到裴瑜面前。她接过来，翻开第一页后，顿时来了兴趣。

数学试卷上的第一道题长这样：

【

针对曲线 C: x^2 + y^2 = 1 +|x|y（如右图所示），给出下列三个结论：

①曲线 C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

②曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过√2；

③曲线 C所围成的“心形”区域的面积小于3。

其中，所有正确结论的序号是____

】

裴瑜上辈子做过类似的题型，看过一眼就知道，这道题需要应用好几种处理曲线方程的方法，其中还考到了笛卡尔心形曲线。这条曲线的背后有一段凄美的爱情故事，传说中，笛卡尔曾用它来表达对瑞典公主克里斯蒂娜的爱慕之情。

从考题的设置来看，她的数学老师简直是个浪漫的人，在枯燥的学习之余还想方设法给学生们寻找乐趣。

数学老师的本意是好的，只可惜，执行上有点问题，这题的难度超出了班上大部分学生的接受能力。

如果学生们可以选择，肯定不希望在数学考试，还是非常重要的分班考试中，看到这么“浪漫”的曲线。

这种难度的题目还难不倒裴瑜，她刚看完题，就直接在草稿纸上演算起来。

代入几个简单的点，x=0时，y=±1，对应(0，1)和(0，-1)；x=1时，y=0或1，对应(1，0)和(1，1)；x=-1时，y=0或1，对应(-1，0)和(-1，1)。刚好6个整点，结论①是对的。

曲线的形状是个心形，离原点最远的点大概在(1，1)和(-1，1)附近。这两个点到原点的距离是√(12+ 12)=√2。而且用数学不等式，原方程变形后能推出x2+y2≤2，曲线上所有点到原点的距离确实不超过√2，结论②也是对的。

接着裴瑜在心形区域里画了一个矩形和一个三角形，计算面积来验证结论③，算出来矩形面积是2，三角形面积是1，所以心形区域的面积大于3，结论③是错的。

验算完毕，裴瑜填上了这道题的答案，

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