世界上已证明的10大数学难题原题及详细证明

理论基础上，特别是混合霍奇理论和 motives 理论的发展。霍奇猜想的完全解决将极大地统一代数几何与拓扑学的研究方法。

杨-米尔斯存在性与质量间隙是量子场论中的基本数学问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题要求严格证明杨-米尔斯理论在四维时空中的量子化存在，且存在质量间隙。2002年，阿图尔·贾菲和爱德华·威滕在特定对称群下给出了部分证明。2013年，马丁·海尔等人对SU(2)规范群在特定情况下证明了质量间隙的存在。这些工作运用了构造性量子场论和随机偏微分方程等现代数学物理方法。该问题的完全解决将奠定量子场论严格的数学基础，对理论物理学产生深远影响。

P vs NP问题是理论计算机科学的核心问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题询问是否所有可以在多项式时间内验证解的问题，也都能在多项式时间内求解。虽然尚未完全解决，但在特定情况下取得了进展。2002年，维诺德·德奥拉里卡尔证明了某些代数几何方法无法分离P和NP类。2018年，陈立杰等人对某些受限的计算模型证明了P≠NP。这些结果都运用了电路复杂性理论和代数化方法等前沿工具。该问题的解决将对密码学、算法设计等领域产生革命性影响。

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