第71章 攻打大地网咖

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第71章 攻打大地网咖

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第三题：

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【对于实数t>0，称欧氏平面r^2的子集Γ为t-稠密的，如果对任意v∈r^2，存在w∈Γ满足||v-w||≤t，设2阶整方阵a∈m2满足det(a)≠0.

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（1）假设tr(a)=0，证明存在c>0，使得对任意正整数n，集合a^nz^2:={a^nv:v∈z^2}

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（2）假设a的特征多项式在有理数域上不可约，证明与（1）相同的结论。】

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“果然！”

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看完题目，陈辉心中大定，终于不会认为自己考了个假的竞赛了。

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如果说前面两道题是送分题，让参赛的选手不至于拿了0分回去，那么第三题就有点意思了。

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这是一道线性代数高等代数相关的问题。

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这道题本质上是在问，当某一个线性映射a反复作用于整点的这些点的时候，这些整点构成的网格会不断的变化，求问平面上的点到网格当中某一个点的最近的距离，大概会以什么样的量级变化。

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题目要求证明的，就是当你反复迭代了n次，这个量级大概是a的行列式的2的n次方。

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毫无疑问，这道题是有难度的。

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但只要参赛者对线性映射的几何结构有一个清晰的理解，同时能够熟练的使用化零多项式定理，再能够利用数论中类似裴蜀定理，pa^(n+1)+qa^n这样的形式表达出离格点最近的距离，再把它跟a的n次方的行列式联系起来，这道题也就做出来了。

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